Kirkjubær (færeyska: Kirkjubøur) er lítið þorp á vestanverðri Straumey í Færeyjum, biskupssetur á miðöldum og því helsti sögustaður eyjanna. Þar er jafnframt kóngsjörðin Kirkjubøargarður eða Kirkjubær, þar sem Paturssonarættin hefur búið frá 1557. Kirkjubær og grannþorpið Velbastaður voru áður sérstakt sveitarfélag en runnu saman við Þórshöfn árið 2005.

Biskupssetur hefur líklega verið stofnað í Kirkjubæ um 1100 og sátu Færeyjabiskupar þar fram yfir siðaskipti 1538 en eftir að fyrsti og eini lútherski biskupinn, Jens Gregoríusson Riber, var fluttur til Stafangurs 1557 var biskupsdæmið lagt niður og kóngsbændur tóku við búskap á jörðinni. Elsti hluti íbúðarhússins á Kirkjubøargarði, þar sem Paturssonfjölskyldan býr enn, er talinn vera frá 11. öld og eitt elsta timburhús í heimi sem enn er búið í.

Af öðrum merkum minjum í Kirkjubæ má nefna elstu kirkju Færeyja sem enn er í notkun, Ólafskirkjuna, sem er frá 12. öld og gengdi hlutverki dómkirkju í kaþólskri tíð en lítið er nú eftir af upphaflegu svipmóti hennar, og Múrinn, en það eru rústirnar af ófullgerðri dómkirkju, Magnúsarkirkjunni, sem byrjað var að reisa um 1300 og átti að helga Magnúsi helga Orkneyjajarli. Veggir kirkjunnar standa enn og eru rústirnar á heimsminjaskrá UNESCO.

Sagt er að í Kirkjubæ hafi á miðöldum verið allstórt þorp á þeirra tíma mælikvarða, um 50 hús, en flestum þeirra hafi skolað á haf út í ofviðri á 16. öld. Nú eru 77 íbúar í þorpinu (1. janúar 2010) en árið 1985 voru þeir 55.

Margir þekktir einstaklingar hafa búið eða alist upp í Kirkjubæ. Þar á meðal má nefna Sverri Sigurðsson Noregskonung, Erlend biskup, sem skrifaði Sauðabréfið, Jóannes Patursson kóngsbónda og sjálfstæðisbaráttumann, Helenu systur hans, sem var upphafskona kvenréttindabaráttu í Færeyjum, stjórnmálamanninn Erlend Patursson og listamanninn Trónd Patursson.